Adrian to wychowanek Igloopolu Dębica. Zaliczył sporo występów z młodzieżową drużyną Ruchu Chorzów. Wywalczył wicemistrzostwo w Centralnej Lidze Juniorów już będąc w Cracovii Kraków. Wpadł w oko trenerowi Michałowi Probierzowi i znalazł się w kadrze ekstraklasowej drużyny, ale ostatecznie nie udało mu się zaliczyć debiutu na najwyższym szczeblu.
Adrian Kajpust wiosną 2019 roku rozegrał w Wólcance Wólka Pełkińska wszystkie mecze w trzeciej lidze, zdobył trzy gole. Przeszedł do Motoru Lublin, gdzie jesienią pojawił sie 10 razy na boisku III ligi.